Deskriptivstatistik für Intervallskalen

Wiederholung aus der Vorlesung: Skalenniveaus

Vorbereitende Schritte

Den Datensatz haben wir bereits über diesen Link heruntergeladen und können ihn über den lokalen Speicherort einladen oder Sie können Ihn direkt mittels des folgenden Befehls aus dem Internet in das Environment bekommen. Im letzten Tutorial und den dazugehörigen Aufgaben haben wir bereits Änderungen am Datensatz durchgeführt, die hier nochmal aufgeführt sind, um den Datensatz auf dem aktuellen Stand zu haben:

#### Was bisher geschah: ----

# Daten laden
load(url('https://pandar.netlify.app/post/fb22.rda'))  

# Nominalskalierte Variablen in Faktoren verwandeln
fb22$geschl_faktor <- factor(fb22$geschl,
                             levels = 1:3,
                             labels = c("weiblich", "männlich", "anderes"))
fb22$fach <- factor(fb22$fach,
                    levels = 1:5,
                    labels = c('Allgemeine', 'Biologische', 'Entwicklung', 'Klinische', 'Diag./Meth.'))
fb22$ziel <- factor(fb22$ziel,
                        levels = 1:4,
                        labels = c("Wirtschaft", "Therapie", "Forschung", "Andere"))
fb22$wohnen <- factor(fb22$wohnen, 
                      levels = 1:4, 
                      labels = c("WG", "bei Eltern", "alleine", "sonstiges"))

Mindestens intervallskalierte Variablen

fb22$lz

##   [1] 5.4 6.0 3.0 6.0 3.2 5.8 4.2  NA 5.4 4.6 4.8 5.4 5.0 4.8 6.6 6.0 5.0 6.0
##  [19] 3.6 5.0 5.8 4.6 4.8 6.4 4.2 4.6  NA 5.8 6.4 4.0 4.2 5.8 4.2 5.0 5.2 6.2
##  [37] 5.2 5.4 4.2 5.2 4.8 2.8 3.4 5.6 3.4 4.2 4.2 5.0 6.0 5.0 4.6 5.8 3.6 3.2
##  [55] 4.0 4.6 4.8 4.6 4.8 5.0 5.4 4.4 5.2 2.6 3.8 6.6 4.8 3.6 5.8 5.8 4.6 6.2
##  [73] 5.2 5.4 5.0 1.4 4.6 4.8 5.4 2.8 3.2 2.4 5.4 2.2 4.8 6.0 5.2 4.8 5.8 5.6
##  [91] 4.6 4.4 5.4 5.4 3.8 5.6 5.6 4.2 4.6 6.2 3.8 4.2 3.8 3.8 5.4 4.6 5.2 3.6
## [109] 2.4 4.2 4.4 3.2 4.2 4.0 2.6 2.0 4.6 5.2 4.4 1.8 4.6 4.4 5.4 5.0 6.0 3.0
## [127] 4.8 6.0 3.4 6.4 3.6 5.2 5.0 4.8 5.8 4.8 5.8 5.2 5.2 6.4 4.8 3.8 4.6 2.6
## [145] 6.0 5.0 5.6 3.2 4.4 6.4 5.8 5.2 5.2 3.6 5.8 3.0 5.6 4.2 5.4

Deskriptivstatistik für mindestens intervallskalierte Variablen

• Verfahren sind “rückwärtskompatibel”, d.h. alle Berechnungen, die auf nominalskalierte und ordinalskalierte Variablen anwendbar sind, lassen sich auch auf mindestens intervallskalierte Variablen anwenden
• Quantile, IQA und Median können weiterhin bestimmt werden

# Minimum & Maximum
range(fb22$lz, na.rm=T)

## [1] 1.4 6.6

# Quartile
quantile(fb22$lz, c(.25, .5, .75), na.rm=T)

## 25% 50% 75% 
## 4.2 4.8 5.4

#Box-Whisker Plot
boxplot(fb22$lz)

Histogramme

Für intervallskalierte Daten ist eine beliebte grafische Darstellungsform das Histogramm. Dieses fasst die kontinuierlichen Werte in Klassen (Kategorien, Intervalle) zusammen. Anschließend wird eine Häufigkeitsverteilung (ähnlich dem Barplot) für die kategorisierten Daten erstellen (sekundäre Häufigkeitsverteilung) erstellt. Grundlegend kann solch eine Grafik über den Befehl hist() angefordert werden.

# Histogramm
hist(fb22$lz)

Natürlich kann man auch hier zusätzliche Argumente nutzen, die die Optik des Histogramms verändern. Dabei können beispielsweise Farbe, Achsenbeschriftungen oder auch der Titel verändert werden. Damit haben wir uns aber bereits auseinandergesetzt und wiederholen es deswegen an dieser Stelle nicht nochmal. Eine neue Bearbeitungsoption für den Plot ist aber das Argument breaks. Hierin wird beschrieben, an welchem Ort eine Kategorie anfängt und wieder aufhört. bspw. startet die erste Kategorie bei 1 und geht bis 3, die zweite dann bei 3 bis 5 und die vierte von 5 bis 7. Die Anzahl der Breakpoints wäre in diesem Beispiel 4 (c(1, 3, 5, 7)). Ohne eigenen Input bestimmt R dieses komplett selbst. Wir können aber auch einen Wert zuordnen - bspw. eine ganze Zahl.

# Histogramm (20 Breakpoints anfordern)
hist(fb22$lz,
     breaks = 20)

Das Argument ist eine weiche Einstellung. R weiß jetzt, dass wir 20 Kategorien bevorzugen. Im Hintergrund laufen aber Funktionen ab, die einen optisch ansprechenden Code produzieren. Deshalb erhalten wir mehr als 20 Breakpoints. Eine weiche Einstellung bedeutet also, dass R das Argument nicht als Pflicht übernimmt. Dieses Phänomen werden wir relativ selten im Verlauf des Semesters sehen. Es wird aber in der Hilfe ?hist im Unterpunkt breaks beschrieben.

Werte, die genau auf einem Break liegen, werden standardmäßig der Kategorie zugeordnet, von der sie den Abschluss bilden. Wenn die Breaks c(1, 1.5, 2) sind, wird ein Wert von 1.5 der ersten Kategorie zugeordnet. Dies gilt mit Ausnahme der untersten Kategorie - hier würde ein Wert von 1 natürlich auch der ersten Kategorie und nicht der nullten Kategorie, die es nicht gibt, zugeordnet werden.

Achtung! Die Anzahl der Kategorien kann den Eindruck der Daten beeinflussen. Hier erstellen wir ein Beispiel dafür, wie wir jeden Breakpoint selbst bestimmen können und auch den Eindruck der Daten manipulieren.

# Histogramm (ungleiche Kategorien)
hist(fb22$lz,
     breaks = c(1, 3, 3.3, 3.6, 3.9, 4.5, 5, 7))

Für die eigene Bestimmung der Grenzen muss also anstatt einer ganzen Zahl dem Befehl ein Vektor c() mit allen Breakpoints übergeben werden.

Varianz

Für die Varianz haben Sie in der Vorlesung folgende Formel kennen gelernt:

Formel: \(s^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n}\)

Wollen wir diese nun per Hand bestimmen, könnte folgender Code das für uns erledigen:

# Händische Varianzberechnung
sum((fb22$lz - mean(fb22$lz, na.rm = TRUE))^2, na.rm = TRUE) / (nrow(fb22)-2)

## [1] 1.145705

Achtung! Wir benötigen für die Varianzberechnung n (s. Formel)! Wir nutzen hier nrow(fb22)-2, weil nrow(fb22) nicht das richtige n anzeigt (2 Personen haben einen fehlenden Wert, daher die Anzahl an Zeilen minus der 2 fehlenden Werte = n).

Kleiner Diskurs zu fehlenden Werten:

Um zu prüfen, ob und wie viele fehlende Werte eine Variable hat, lässt sich z. B. folgende Syntax verwenden:

is.na(fb22$lz) |> sum()

## [1] 2

Um die Länge einer Variablen ohne fehlende Werte (also die Anzahl an Beobachtungen auf einer Variablen) zu bestimmen, lässt sich z. B. folgende Syntax verwenden:

na.omit(fb22$lz) |> length() # mit Pipe

## [1] 157

length(na.omit(fb22$lz))     # ohne Pipe

## [1] 157

Zur händischen Varianzberechnung können wir daher auch folgende Syntax verwenden:

# Händische Varianzberechnung
sum((fb22$lz - mean(fb22$lz, na.rm = TRUE))^2, na.rm = TRUE) / (length(na.omit(fb22$lz)))

## [1] 1.145705

Verschiedene Varianzschätzer

Sie haben sich eventuell schon gewundert, warum wir eine so bekannten Wert wie die Varianz per Hand bestimmen müssen. Mit der ersten Intuition findet man bereits eine Funktion für die Berechnung, var(). Folgendes Ergebnis liefert R, wenn wir die R-Funktion var() zur Berechnung der Varianz verwenden:

# R-interne Varianzberechnung
var(fb22$lz, na.rm = TRUE)

## [1] 1.153049

Warum erhalten wir hier einen abweichenden Wert im Vergleich zu unserer händischen Varianzberechnung?

Die meisten Programme berechnen nicht die empirische Varianz, sondern einen Schätzer der Populationsvarianz: Empirische Varianz

\(s^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n}\)

Schätzer der Populationsvarianz

\(\hat{\sigma}^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n - 1}\)

Ein enger Zusammenhang zwischen Populationsvarianz und empirischer Varianz ist bereits nur durch Ansicht der Formeln erkenntlich. Eine Erklärung über diesen wird es erst im weiteren Verlauf der Vorlesung geben. Wir wollen uns nun darauf konzentrieren, wie wir technisch den Wert, den wir durch var() erhalten, für unsere Zwecke nutzen können.

Um in R die empirische Varianz mithilfe der var()-Funktion zu berechnen, kann man die Populationsvarianz nutzen. Multipliziert man sie mit \(\frac{n - 1}{n}\), erhält man die empirische Varianz.

# Umrechnung der Varianzen
var(fb22$lz, na.rm = TRUE) * (nrow(fb22) - 1) / nrow(fb22)

## [1] 1.145797

Achtung! Dies funktioniert in unserem Fall wieder nicht, da die Verwendung von nrow(fb22) - wie oben bereits angemerkt - nicht sinnvoll ist: nrow(fb22) ist nicht gleich n (es kommt NA 2 Mal vor), daher besser:

# Umrechnung der Varianzen
var(fb22$lz, na.rm = TRUE) * (length(na.omit(fb22$lz)) - 1) / (length(na.omit(fb22$lz)))

## [1] 1.145705

Alternativ, wenn man die fehlenden Werte händisch abzieht:

# Umrechnung der Varianzen
var(fb22$lz, na.rm = TRUE) * (157 - 1) / 157

## [1] 1.145705

Standardabweichung

Auch bei der Standardabweichung bestimmt R den Populationsschätzer \(\hat{\sigma}_{X}\).

\(\hat{\sigma}_{X} = \sqrt{\hat{\sigma}^2_{X}} = \sqrt{\frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n - 1}}\)

# Standardabweichung in R
sd(fb22$lz, na.rm = TRUE) # Populationsschaetzer

## [1] 1.073801

In der Vorlesung hingegen haben Sie die empirische Standardabweichung kennen gelernt.

\(s_{X} = \sqrt{s^2_{X}} = \sqrt{\frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n}}\)

Wir müssten das Ergebnis also wieder mit einem Faktor (\(\sqrt{\frac{n - 1}{n}}\)) multiplizieren, um die emprische Standardabweichung zu erhalten.

# Umrechnung der Standardabweichung
sd(fb22$lz, na.rm = TRUE) * sqrt((157 - 1) / 157)

## [1] 1.070376

Alternativ kann diese natürlich auch komplett händisch berechnet werden. Dafür können wir einfach den bereits geschriebenen Code für die empirische Varianz nehmen und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen.

# Händische Berechnung der empirischen Standardabweichung
(sum((fb22$lz - mean(fb22$lz, na.rm = TRUE))^2,
    na.rm = TRUE) / (length(na.omit(fb22$lz)))) |> sqrt()

## [1] 1.070376

Nützliche Funktionen in diesem Zusammenhang:

• rowMeans() Mittelwert für jede Zeile (über Variablen)
  
• colMeans() Mittelwert für jede Spalte (über Personen)
  
• rowSums() Summe für jede Zeile (über Variablen)
  
• colSums() Summe für jede Spalte (über Personen)