Deskriptivstatistik für Nominal- und Ordinalskalen

Wiederholung aus der Vorlesung: Skalenniveaus

Vorbereitende Schritte

Nachdem wir in der letzten Sitzung die Arbeit mit dem CSV Format kennen gelernt haben, nutzen wir jetzt die Datei im RDA Format für das Einlesen des Datensatzes. Die Datei können Sie hier herunterladen. Außerdem ist es prinzipiell ratsam, zu Beginn wieder das Arbeitsverzeichnis mit Hilfe von setwd() zu bestimmen. Dies stellt sicher, dass wenn Sie später Daten speichern (z.B. Datensätze oder Grafiken), diese auch am gewünschten Ort auf Ihrem Computer abgelegt werden.

Eine alternative Variante ist, den Datensatz direkt mit dem folgenden Befehl aus dem Internet einzuladen. Dies ist immer dann möglich, wenn der Datensatz auch über eine URL aufrufbar ist.

load(url('https://pandar.netlify.app/post/fb22.rda'))   # Daten laden
names(fb22)        # Namen der Variablen

##  [1] "prok1"   "prok2"   "prok3"   "prok4"   "prok5"   "prok6"   "prok7"  
##  [8] "prok8"   "prok9"   "prok10"  "nr1"     "nr2"     "nr3"     "nr4"    
## [15] "nr5"     "nr6"     "lz"      "extra"   "vertr"   "gewis"   "neuro"  
## [22] "intel"   "nerd"    "grund"   "fach"    "ziel"    "lerntyp" "geschl" 
## [29] "job"     "ort"     "ort12"   "wohnen"  "uni1"    "uni2"    "uni3"   
## [36] "uni4"

dim(fb22)          # Anzahl Zeile und Spalten

## [1] 159  36

In der letzten Sitzung haben wir schon einige Befehle für das Screening eines Datensatzes kennen gelernt. Dabei zeigt names() alle Variablennamen an, während dim() uns Zeilen und Spalten ausgibt. Der Datensatz hat also 159 Beobachtungen auf 36 Variablen.

Nominalskalierte Variablen

Typische Beispiele für nominalskalierte Variablen in der Psychologie sind das Geschlecht (z.B. Variable “geschl” in fb22), die Experimentalbedingung (z.B. “Experimentalgruppe” und “Kontrollgruppe”). Nominalskalierte Variablen sollten in R als Faktoren hinterlegt werden. Faktoren in R sind Vektoren mit einer vorab definierten Menge an vorgegebenen möglichen Ausprägungsmöglichkeiten. Sowohl numerische als auch character-Variablen können als Faktor kodiert werden, was mit jeweiligen Vorteilen einhergeht:

• für numerische Variablen: es können (aussagekräftige) Labels zugewiesen (“hinterlegt”) werden. Diese werden dann für Tabellen und Grafiken übernommen
  
• Für character-Variablen: Faktoren können für Analysen verwendet werden (z.B. als Prädiktoren in einer Regression), was für character-Variablen nicht möglich gewesen wäre

Jeder numerischen Faktorstufe (level) kann ein Label zugewiesen werden. Faktorstufe und –label bestehen auch dann, wenn die entsprechende Ausprägung empirisch nicht auftritt.

Beispiel 1: Die (numerische) Variable geschl als Faktor aufbereiten

str(fb22$geschl)

##  int [1:159] 1 2 2 2 1 NA 2 1 1 1 ...

fb22$geschl

##   [1]  1  2  2  2  1 NA  2  1  1  1  1  2  2  1  1  1  1  1  1  1  1  1  2  1 NA
##  [26]  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
##  [51]  1  1  1 NA  1  2  1  2  1  1  1  2  1 NA NA  1  3  1  1  1  1  1  1  1  1
##  [76]  1  1  1  2  2  2  1  2  2  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 NA  1  1  1  1  1
## [101]  1 NA  2  1  1  1  1 NA  1 NA  1  1  2  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
## [126]  2  1  1 NA  2  1  2  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
## [151]  1  1  1  1  1  1  2  1  1

Die Variable geschl liegt numerisch vor, es treten die Werte 1, 2 und 3 empirisch auf. Die Bedeutung von NA wird später betrachtet. Anhand des Kodierschemas ( Variablenübersicht) kann den Zahlen eine inhaltliche Bedeutung zugewiesen werden. Beispielsweise bedeutet der Wert 1 “weiblich”. Diese Label werden nun im Faktor hinterlegt.

Vorgehensweise:

• Erstellung einer neuen Variable im Datensatz per Objektzuweisung: datensatz$neueVariable <- factor(...)
  
• Faktor erstellen mit der Funktion factor(Ausgangsvariable, levels = Stufen, labels = Label)
• Spezifikation der Faktorstufen im Argument levels, also der numerischen Ausprägungen auf der Ursprungsvariable (hier: 1, 2 und 3)
  
• Spezifikation des Arguments labels, also die Label für die in levels hinterlegten numerischen Stufen (hier: “weiblich”, “männlich”, “anderes”; unbedingt auf gleiche Reihenfolge achten!)

fb22$geschl_faktor <- factor(fb22$geschl,                                   # Ausgangsvariable
                             levels = 1:3,                                  # Faktorstufen
                             labels = c("weiblich", "männlich", "anderes")) # Label für Faktorstufen
str(fb22$geschl_faktor)

##  Factor w/ 3 levels "weiblich","männlich",..: 1 2 2 2 1 NA 2 1 1 1 ...

head(fb22$geschl_faktor)

## [1] weiblich männlich männlich männlich weiblich <NA>    
## Levels: weiblich männlich anderes

Beispiel 2: Lieblingsfach (numerisch) als Faktor aufbereiten

Analog dazu wird nachfolgend die ebenfalls numerische Variable fach in einen Faktor umgewandelt. Sie wurde wie folgt erhoben:

fb22$fach

##   [1]  5  4  1  4  2 NA  1  4  3  4  3  2  2  2  4  3  2  3  4  4  1  3  4  4 NA
##  [26]  3 NA  2  3  4  4  1  3  2  1  3  1 NA  2  4  4  4  4  4  4  1  4  1  3  1
##  [51]  1  3  4 NA  4  2  4  4  4  4  3  4  2 NA NA  4  4  3  4  3  4  3  3  1  3
##  [76]  4  4  4  3  3  4  2  3  3  2  3  4  2  4  3  4  2  3  3 NA  4  2  4  2  2
## [101]  4 NA  2  3  2  1  1  3  5 NA  4  5  1  1  4  4  3  2  2  2 NA  3  5  4  3
## [126]  5  2  4 NA  1  4  3  3  5  4  1  4  4  2  3  3  4  3  2  4  4  4  4  4  5
## [151]  2  1  3  1  2  3  4  4  4

Es treten die Ausprägungen 1 bis 5 empirisch auf. Auch hier werden die Label aus dem Kodierschema zugewiesen.

fb22$fach <- factor(fb22$fach,
                    levels = 1:5,
                    labels = c('Allgemeine', 'Biologische', 'Entwicklung', 'Klinische', 'Diag./Meth.'))
str(fb22$fach)

##  Factor w/ 5 levels "Allgemeine","Biologische",..: 5 4 1 4 2 NA 1 4 3 4 ...

Hinweis: In Beispiel 2 wurde die Ursprungsvariable mit dem Faktor überschrieben. Sie ist nun verschwunden, der Datensatz enthält nur noch den Faktor, nicht mehr die numerische Variable.

Beispiel 3: Einen character-Vektor als Faktor aufbereiten

Um einen character-Vektor in einen Faktor umzukodieren, kann die Funktion as.factor() verwendet werden (siehe Skript zur Lehreinheit 1). Die Ausprägungen werden dann automatisch als Labels übernommen. Die numerischen Stufen (levels) werden anhand der alphabetischen Reihenfolge der labels vergeben.

Nachfolgend wird zur Illustration die offene Freitextantwort zum Grund für das Psychologiestudium (Variable grund) in einen Faktor umgewandelt.

str(fb22$grund)                            # Ursprungsvariable: Character

##  chr [1:159] "Interesse" "Allgemeines Interesse schon seit der Kindheit" ...

fb22$grund_faktor <- as.factor(fb22$grund) # Umwandlung in Faktor
str(fb22$grund_faktor)                     # neue Variable: Faktor

##  Factor w/ 135 levels "- Aus Interesse ",..: 62 9 102 113 51 70 26 87 24 90 ...

Die neue Variable ist nun ein Faktor mit 135 Stufen. Das Vorgehen ist nur zur Anschauung gedacht und in diesem speziellen Fall nicht sinnvoll, da jede einzelne Freitextantwort vermutlich nur genau einmal vorkommt und später sowieso nicht (ohne zusätzliche Kodierung) in statistischen Analysen weiterverwendet werden kann.

Wir haben nun also gelernt, dass Faktoren auf verschiedene Weisen erstellt werden können. Wir benutzen nun die Funktion factor(), wenn unsere Variable zunächst nur numerisch vorlag (Beispiele 1 und 2) und wir eine Bedeutung zuordnen wollen. Wenn die Variable als character (Beispiel 3 und Intro-Sitzung), nutzen wir die Funktion as.factor().

Hinweise zu den Levels und Labels

Die Reihenfolge von Levels und Labels ergibt sich während der Faktorerstellung:

• bei numerischen Variablen: entspricht den Ausprägungen der numerischen Ursprungsvariable
  
• bei character-Variablen: entspricht der alphabetischen Reihenfolge der Ausprägungen auf der Ursprungsvariable

Die Labels eines Faktors können mit der Funktion levels() abgerufen werden. Die Reihenfolge kann mithilfe der relevel()-Funktion geändert werden. Dafür muss dasjenige Label angesprochen werden, das die erste Position einnehmen soll (hier: ‘Diag./Meth.’).

levels(fb22$fach)         # Abruf

## [1] "Allgemeine"  "Biologische" "Entwicklung" "Klinische"   "Diag./Meth."

fb22$fach <- relevel(
  fb22$fach,              # Bezugskategorie wechseln
  'Diag./Meth.')          # Neue Bezugskategorie

Deskriptivstatistische Kennwerte auf Nominalskalenniveau

Modus

Der Modus (Mo) ist ein Maß der zentralen Tendenz, das die häufigste Ausprägung einer Variable anzeigt. Die Häufigkeiten sind ja schon in der Häufigkeitstabelle enthalten. Man könnte den Modus also einfach ablesen. Das gleiche lässt sich allerdings auch anhand von Funktionen tun:

tab            # Tabelle ausgeben

## 
## Diag./Meth.  Allgemeine Biologische Entwicklung   Klinische 
##           7          19          27          37          57

max(tab)       # Größte Häufigkeit

## [1] 57

which.max(tab) # Modus

## Klinische 
##         5

Der Modus der Variable fach lautet also Klinische, die Ausprägung trat 57 mal auf.

Relativer Informationsgehalt

Der relative Informationsgehalt ist ein Dispersionsmaß, das schon auf Nominalskalenniveau funktioniert. Dafür gibt es in R allerdings keine Funktion! Aus Lehreinheit 1 wissen Sie jedoch, dass R als Taschenrechner genutzt werden kann, folglich können beliebig komplexe Gleichungen in R umgesetzt werden. Die Formel zur Berechnung des relativen Informationsgehalts \(H\) lautet:

\[H = -\frac{1}{\ln(k)} \sum_{j=1}^k{h_j * \ln h_j} \]

Wir benötigen also \(h_j\), was die relativen Häufigkeiten der einzelnen Kategorien bezeichnet. Hier haben wir schon gelernt, dass wir diese durch anwenden der Funktion prop.table auf unser Objekt tab erhalten können. Anschließend muss noch mit der Funktion log gearbeitet werden, die den natürlichen Logarithmus als Standardeinstellung berechnet. \(k\) ist in diesem Fall die maximale Nummer einer unserer Kategorien - also die Kategorienanzahl 5. Falls wir diese nicht selbst zählen möchten, kann dim uns die Anzahl an Spalten in tab verraten. Der Rest ist dann nur einfache Multiplikation, Addition und Division.

hj <- prop.table(tab)       # hj erstellen
ln_hj <- log(hj)            # Logarithmus bestimmen
ln_hj                       # Ergebnisse für jede Kategorie

## 
## Diag./Meth.  Allgemeine Biologische Entwicklung   Klinische 
##  -3.0445224  -2.0459936  -1.6945957  -1.3795147  -0.9473813

summand <- ln_hj * hj       # Berechnung für jede Kategorie
summe <- sum(summand)       # Gesamtsumme
k <- dim(tab)               # Anzahl Kategorien
relinf <- -1/log(k) * summe # Relativer Informationsgehalt
relinf

## [1] 0.8917737

Eine kleine Abkürzung durch Einsparen der Schritte am Ende könnte hier folgendermaßen mittels Pipe erreicht werden:

relinf <- (ln_hj * hj) |> sum() * (-1/log(k))  # Relativer Informationsgehalt
relinf

## [1] 0.8917737

Eine alternative Schreibweise, die ohne Zwischenschritte auskommt, dafür aber in Form von vielen Klammern stark verschachtelt ist, lautet:

- 1/log(dim(table(fb22$fach))) * sum(prop.table(table(fb22$fach)) * log(prop.table(table(fb22$fach))))

## [1] 0.8917737

Wie man hier sieht, stößt die Schachtelung ohne das Speichern von Zwischenergebnissen oder das nutzen der Pipe schnell an die Grenzen der Übersichtlichkeit.

In allen drei Varianten kommen wir aber zum gleichen Schluss: der relative Informationsgehalt der Variable fach beträgt 0.892. Da der mögliche Wertebereich zwischen 0 (für alle Personen selbe Kategorie) und 1 (für alle Kategorien gleich viele Personen) variiert, kann hier von einer starken Verteilung der Personen ausgegangen werden.

Ordinalskalierte Variablen

In diesem Abschnitt lernen Sie deskriptivstatistische Kennwerte für ordinalskalierte Variablen kennen. Aus der Vorlesung wissen Sie schon, dass Median und Interquartilsabstand (IQA) nur für die Klasse der geordneten Kategorien (auch “Rangklassen”) sinnvoll sind, nicht für singuläre Daten (“Rangwerte”).

Zunächst aber eine Wiederholung: Wie Sie aus der Vorlesung wissen, können die in der Tabelle am Anfang dieses Dokuments aufgeführten statistischen Kennwerte (Zentrale Lage, Dispersion) auch für Skalenniveaus genutzt werden, die “weiter unten” in der Tabelle stehen. Für ordinalskalierte Variablen (Rangklassen) kann also auch der Modus berechnet werden.

Nachfolgend soll mit Item 4 des Prokrastinationsfragebogens gearbeitet werden. Es wurde wie folgt erhoben:

Es treten die Werte 1 bis 4 empirisch auf, außerdem gibt es 2 fehlende Werte (dargestellt als NA):

fb22$prok4

##   [1]  2  4  4 NA  3  2  2  3  3  4  1  2  3  2  3 NA  2  4  2  2  2  3  3  2  3
##  [26]  2  2  2  1  3  2  3  3  3  3  2  3  2  3  2  3  3  3  4  3  3  3  4  2  4
##  [51]  3  2  3  4  3  3  2  1  4  2  2  2  2  2  2  2  2  2  3  2  2  2  3  2  3
##  [76]  3  3  2  2  3  1  2  2  1  3  2  3  2  2  3  3  2  2  2  1  1  3  2  4  3
## [101]  2  4  3  3  1  2  2  3  4  3  1  3  2  2  3  2  2  2  3  4  3  1  2  2  3
## [126]  3  4  3  3  3  3  4  3  1  2  3  2  2  3  2  2  4  4  2  3  2  3  2  4  2
## [151]  2  2  2  4  3  4  3  3  3

Wiederholung:

table(fb22$prok4)               # Absolute Haeufigkeiten

## 
##  1  2  3  4 
## 11 66 60 20

prop.table(table(fb22$prok4))   # Relative Haeufigkeiten

## 
##          1          2          3          4 
## 0.07006369 0.42038217 0.38216561 0.12738854

which.max(table(fb22$prok4))    # Modus

## 2 
## 2

Fehlende Werte

Fehlende Werte (dargestellt als NA) in empirischen Untersuchungen können aus vielen Gründen auftreten:

• Fragen überlesen / nicht gesehen
  
• Antwort verweigert
  
• Unzulässige Angaben gemacht (im Papierformat)
  
• Unleserliche Schrift (im Papierformat)
• …

Für statistische Analysen sind fehlende Werte ein Problem, weil sie außerhalb der zulässigen Antworten liegen.

Fehlende Werte in R

Fehlende Werte werden im Datensatz als NA dargestellt. In R kann man solche Fälle auf zwei unterschiedlichen Ebenen berücksichtigen:

• Global: na.omit(datensatz)
  • Entfernt alle Beobachtungen, die auf irgendeiner Variable einen fehlenden Wert haben
    
  • Häufig auch “listenweiser Fallausschluss” genannt
    
• Lokal: na.rm = TRUE
  • Das Argument na.rm ist in vielen Funktionen für univariate Statistiken enthalten
    
  • Per Voreinstellung wird NA als Ergebnis produziert, wenn fehlende Werte vorliegen
    
  • Fehlende Werte werden nur für diese eine Analyse ausgeschlossen, wenn sie auf der darin untersuchten Variable keinen Wert haben - Datensatz bleibt erhalten

Fehlende Werte sind ein ganz eigenes Forschungsgebiet der Methodik und man könnte eine ganze Veranstaltung nur zu diesem Thema halten. Hierfür haben wir leider keine Zeit, weshalb wir uns der sehr einfachen Methode bedienen, dass wir fehlende Werte von der Analyse ausschließen. Dies ist kein empfohlenes Vorgehen für empirische Arbeiten im fortgeschrittenen Verlauf des Studium!

Deskriptivstatistische Kennwerte ab Ordinalskalenniveau

Median

Wir können uns den Einfluss fehlender Werte auf die Arbeit mit R mit der Betrachtung der Funktion für den Median, die praktischerweise median() heißt, veranschaulichen, indem wir einmal ein extra Argument benennen.

median(fb22$prok4)                 # Ohne Argument für NA: funktioniert nicht

## [1] NA

median(fb22$prok4, na.rm = TRUE)   # Expliziter Ausschluss: funktioniert

## [1] 3

Ohne Argument für die Behandlung der fehlenden Werte wird NA auch als Ergebnis ausgegeben. Mit passendem Argument erhalten wir ein numerisches Ergebnis: Der Median für die Variable prok4 beträgt also 3.

Quantile, IQB und IQA

Für eine Beschreibung der Dispersion wird häufig der Interquartilsbereich (IQB) genutzt. IQB ist der Bereich zwischen dem 1. und dem 3. Quartil.

Um die Quartile oder jedes beliebige andere Quantil einer Verteilung zu erhalten, kann die Funktion quantile() verwendet werden. Beispielsweise können wir die Grenzen des IQB und den Median mit folgender Eingabe gleichzeitig abfragen.

quantile(fb22$prok4,
         c(.25, .5, .75),                   # Quartile anfordern
         na.rm = T)

## 25% 50% 75% 
##   2   3   3

Der Interquartilsbereich liegt also zwischen 2 und 3.

Den Interquartilsabstand (IQA) können wir nun bestimmen, indem wir das Ergebnis für das dritte und das erste Quartil subtrahieren.

\[IQA = Q_3 - Q_1\]

Mit quantile() ist die Umsetzung in R etwas umständlich, da wir die Funktion zwei Mal aufrufen und die Differenz daraus bilden müssen.

quantile(fb22$prok4, .75, na.rm=T) - quantile(fb22$prok4, .25, na.rm=T)

## 75% 
##   1

Dabei ist in der Ausgabe besonders die Überschrift verwirrend (75%), die hier nichts mit der Bedeutung des Wertes zu tun hat. Der IQA der Variable prok4 beträgt 1. Für die Berechnung des IQA gibt es auch die direkte Funktion IQR(), die uns das ganze einfacher macht.

IQR(fb22$prok4, na.rm = TRUE)

## [1] 1

Boxplots

Eine geeignete grafische Darstellungsform für (mindestens) ordinalskalierte Daten ist der Boxplot. Er kann über die Funktion boxplot() angefordert werden:

boxplot(fb22$prok4)

Zur Erinnerung:

• Box: Quartile
• Schwarzer Balken: Median
• Whisker: der jeweils extremste empirische Wert im Bereich Q3 + 1.5*IQA für das Maximum bzw. Q1 - 1.5*IQA für das Minimum
  
• Noch extremere Werte werden als Punkte dargestellt

In diesem Beispiel betragen Median und Q3 jeweils 3, sodass sich die entsprechenden Linien überlagern. Ein Beispiel für einen “schöneren” Boxplot (ohne Überlagerung) ist dieses:

boxplot(fb22$nr6)

Auch ein Boxplot kann grafisch angepasst werden. Nachfolgend sehen Sie ein Beispiel, in dem möglichst viel verändert wurde, um die verschiedenen Möglichkeiten aufzuzeigen. Nicht alle Veränderungen sind unbedingt sinnvoll in diesem Fall.

boxplot(fb22$nr6,
        horizontal = TRUE,                # Ausrichtung des Boxplots
        main = "WS 2022/2023: Item Nr6",  # Überschrift der Grafik
        xlab = "Ausprägung",              # x-Achse Bezeichnung 
        las = 1,                          # Ausrichtung der Labels
        border = "red",                   # Farbe der Linien im Boxplot
        col = "pink1")                    # Farbe der Fläche innerhalb der Box