Tests für abhängige Stichproben

4.1. Deskriptivstatistik

Wie immer beginnen wir mit der deskriptivstatistischen Analyse unserer Daten.

# Je ein Histogramm pro Skala, untereinander dargestellt, vertikale Linie für den jeweiligen Mittelwert
par(mfrow=c(2,1), mar=c(3,3,2,0))
hist(fb22$neuro, 
     xlim=c(1,5),
     ylim = c(0,50),
     main="Neurotizismus", 
     xlab="", 
     ylab="", 
     las=1)
abline(v=mean(fb22$neuro), 
       lty=2, 
       lwd=2)

hist(fb22$extra, 
     xlim=c(1,5),
     ylim = c(0,50),
     main="Extraversion", 
     xlab="", 
     ylab="", 
     las=1)
abline(v=mean(fb22$extra), 
       lty=2, 
       lwd=2)

par(mfrow=c(1,1)) #Zurücksetzen des Plotfensters, zuvor hatten wir "dev.off()" kennengelernt

summary(fb22$neuro)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.250   3.250   3.750   3.626   4.250   5.000

summary(fb22$extra)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.500   3.000   3.250   3.379   3.750   5.000

#alternativ
library(psych)
describe(fb22$neuro)

##    vars   n mean   sd median trimmed  mad  min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 159 3.63 0.72   3.75    3.65 0.74 1.25   5  3.75 -0.43     0.09 0.06

describe(fb22$extra)

##    vars   n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 159 3.38 0.71   3.25    3.39 0.74 1.5   5   3.5 -0.06    -0.31 0.06

4.2. Voraussetzungsprüfung

Um den Ergebnissen eines \(t\)-Test für abhängige Stichproben vertrauen zu können, müssen dessen Voraussetzungen erfüllt sein:

Voraussetzungen für die Durchführung des t-Tests für abhängige Stichproben:

1. Die abhängige Variable ist intervallskaliert \(\rightarrow\) ok
   
2. Die Messwerte innerhalb der Paare dürfen sich gegenseitig beeinflussen/voneinander abhängig sein; keine Abhängigkeiten zwischen den Messwertpaaren \(\rightarrow\) ok
   
3. Die Differenzvariable d muss in der Population normalverteilt sein \(\rightarrow\) ab \(n \ge 30\) meist gegeben (s. zentraler Grenzwertsatz), ggf. grafische Prüfung oder Hintergrundwissen

zu 3. Normalverteilung von d

Da wir hier die Differenzvariable betrachten müssen, müssen wir diese zunächst erstellen. Anschließend schauen wir uns das Histogramm der Differenzvariable und den QQ-Plot an:

difference <- fb22$neuro-fb22$extra
hist(difference, 
     xlim=c(-3,3), 
     ylim = c(0,1),
     main="Verteilung der Differenzen", 
     xlab="Differenzen", 
     ylab="", 
     las=1,
     probability = T)
curve(dnorm(x, mean=mean(difference), sd=sd(difference)), 
      col="blue", 
      lwd=2, 
      add=T)

qqnorm(difference)
qqline(difference, col="blue")

\(\Rightarrow\) Differenzen sehen normalverteilt aus, es wird also Normalverteilung angenommen. Somit sind alle drei Voraussetzungen für die Durchführung des t-Tests für abhängige Stichproben erfüllt.

4.3. Inferenzstatistik: t-Test für abhängige Stichproben

Zur Erinnerung:

Fragestellung D: “Haben Psychologiestudierende vergleichbare Werte auf den Skalen Neurotizismus und Extraversion?”

Hypothesen:

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
• Richtung des Effekts: Ungerichtet
• Grösse des Effekts: Unspezifisch

Hyothesenpaar (inhaltlich):

• H0: Psychologiestudierende haben vergleichbare Werte auf den Skalen Neurotizismus und Extraversion.
• H1: Bei Psychologiestudierende unterscheiden sich die Werte auf den Skalen Neurotizismus und Extraversion.

Hypothesenpaar (statistisch):

• H0: \(\mu_\text{neuro} = \mu_\text{extra}\) bzw. \(\mu_{d} = 0\)
  
• H1: \(\mu_\text{neuro} \ne \mu_\text{extra}\) bzw. \(\mu_{d} \ne 0\)

Signifikanzniveau

Das Signifikanzniveau muss vor der Untersuchung festgelegt werden. Es soll hier 5% betragen. \(\rightarrow\) \(\alpha=.05\) Durchführung des abhängigen t-Tests in R:

Wir verwenden hier die Funktion t.test(). Diesmal müssen wir allerdings die beiden Variablen einzeln der Funktion übergeben. Dies geschieht über die Argumente x und y. Das Argument paired = T führt dazu, dass der t-Test für abhängige (gepaarte) Stichproben durchgeführt wird.

t.test(x = fb22$extra, y = fb22$neuro, # die beiden abhaengigen Variablen
      paired = T,                      # Stichproben sind abhaengig
      conf.level = .95)   

## 
## 	Paired t-test
## 
## data:  fb22$extra and fb22$neuro
## t = -3.2465, df = 158, p-value = 0.001427
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.39703668 -0.09667401
## sample estimates:
## mean difference 
##      -0.2468553

\(\rightarrow\) t(158) = 3.25, p < .01 \(\rightarrow\) signifikant, H0 wird verworfen.

4.4. Schätzung des standardisierten Populationseffekts

Formel: \[d_2'' = \frac{\bar{d}} {\hat{sd}_{d}}\]

wobei

• \(\bar{d}\): Mittelwert der Differenz aller Wertepaare
  
• \(\hat{sd}_{d}\): geschätzte SD der Differenzen

Wir führen die Berechnung von Cohen’s d für abhängige Stichproben zunächst von Hand durch. Dafür speichern wir uns die nötigen Größen ab und wenden dann die präsentierte Formel an:

mean_d <- mean(difference)
sd.d.est <- sd(difference)
d_Wert <- mean_d/sd.d.est
d_Wert

## [1] 0.2574633

Berechnung mit Funktion cohen.d()

#alternativ:
#install.packages("effsize")
library("effsize")

d2 <- cohen.d(fb22$neuro, fb22$extra, 
      paired = T,  #paired steht fuer 'abhaengig'
      within = F)   #wir brauchen nicht die Varianz innerhalb
d2

## 
## Cohen's d
## 
## d estimate: 0.2574633 (small)
## 95 percent confidence interval:
##      lower      upper 
## 0.09886578 0.41606085

Mit dem Argument within = T, was der Default ist, wird für die Varianzberechnung die Varianz innerhalb der Gruppen herangezogen (vergleiche Formel Cohen’s d für unanghängige Stichproben).

Konventionen nach Cohen (1988) für t-Test für abhängige Stichproben (Achtung: Werte unterscheiden sich zw. abhängigem und unabhängigem t-Test):

\(\Rightarrow\) der standardisierte Populationseffekt beträgt \(d_2''\) = 0.26 und ist laut Konventionen klein bis mittel.

4.5. Ergebnisinterpretation

Es wurde an Psychologiestudierenden untersucht, ob sie vergleichbare Werte auf den Skalen Neurotizismus und Extraversion aufweisen. Zunächst findet sich deskriptiv ein Unterschied: Psychologiestudierende weisen einen durchschnittlichen Neurotizismus-Wert von 3.63 (SD = 0.72) auf, während der durchschnittliche Extraversions-Wert 3.38 (SD = 0.71) beträgt. Zur Beantwortung der Fragestellung wurde ein ungerichteter t-Test für abhängige Stichproben durchgeführt. Der Gruppenunterschied ist signifikant (t(158) = 3.25, p < .01), somit wird die Nullhypothese verworfen. Psychologiestudierende weisen einen höheren Wert auf der Skala Neurotizismus als auf der Skala Extraversion auf. Dieser Unterschied ist nach dem standardisierten Populationseffekt von \(d_2''\) = 0.26 klein bis mittel.