z-Test

Der z-Test oder Einstichproben-Gauss-Test setzt voraus, dass das Merkmal in der Population, auf die sich die Nullhypothese (\(H_0\)) bezieht, normalverteilt ist und der Mittelwert sowie die Standardabweichung bekannt sind.
Des Weiteren verwendet der Gauss-Test grundsätzlich die Standardnormalverteilung als Stichprobenkennwerteverteilung (SKV), deswegen ist er nicht für kleine Stichproben geeignet.
Der Einstichproben-Gauss-Test prüft anhand des arithmetischen Mittels einer Stichprobe, ob der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) als ein vorgegebener Wert ist.

Die Formel für den empirischen z-Wert \(z_{emp}\) ist:

\[z_{emp} = |\frac{\bar{x} - {\mu}}{\sigma_{\bar{x}}}|\] wobei sich der Standardfehler (SE) des Mittelwerts wie folgt berechnet:

\[\sigma_{\bar{x}} = {\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}}\]

Zunächst legen wir alle für den z-Wert relevanten Informationen in unser Environment ab, wobei wir auch schon den Standardfehler des Mittelwerts (\(\sigma_{\bar{x}}\)) berechnen.

mean_IQ <- 100 #Mean Grundgesamtheit
sd_IQ <- 15 #SD der Grundgesamtheit
sample_size <- 75 #Stichprobengröße
se_IQ <- sd_IQ/sqrt(sample_size) #standard error (SE), also Standardfehler
new_mean_IQ <- 105 #Stichprobenmittelwert
new_sd_IQ <- 17 #SD der Stichprobe (Populationsschätzer)

Demnach wird der empirische z-Wert \(z_{emp}\) wie folgt berechnet:

z_IQ <- abs((new_mean_IQ-mean_IQ)/(sd_IQ/sqrt(sample_size))) #abs() berechnet den Betrag des Ergebnisses
z_IQ

## [1] 2.886751

bzw.

z_IQ <- abs((new_mean_IQ-mean_IQ)/se_IQ)
z_IQ

## [1] 2.886751

Beachten Sie: es geht immer um den Betrag des Ergebnisses, weshalb wir die Funktion abs() verwenden.

Der empirische z-Wert \(z_{emp}\) ist eine Angabe, um wie viele Standardabweichungen der Mittelwerte der SKV (das heißt: um wie viele Standardfehler SE) der Mittelwert der Stichprobe vom Mittelwert der Grundgesamtheit abweicht.
Der beobachtete Stichprobenmittelwert weicht demnach um \(z_{IQ}\) = 2.89 SE (nach oben) vom Mittelwert der Grundgesamtheit ab.
Um entscheiden zu können, ob es sich um eine signifikante Abweichung handelt, muss der kritische z-Wert \(z_{krit}\) bestimmt werden.
Für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% und eine einseitige Hypothesentestung wäre dies:

z_krit <- qnorm(1-.05) #bei einer zweiseitigen Testung würden wir qnorm(1-(.05/2)) verwenden
z_krit

## [1] 1.644854

Der kritische z-Wert beträgt demnach \(z_{krit}\) = 1.64. Damit das Ergebnis als signifikant gewertet wird, muss der empirische z-Wert \(z_{emp}\) größer sein als der kritsiche z-Wert (\(z_{IQ}\) > \(z_{krit}\)). Hierfür können wir auch eine logische Abfrage nutzen:

z_IQ > z_krit

## [1] TRUE

Das Ergebnis TRUE zeigt uns, dass es sich um einen signifikanten Unterschied handelt. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann die \(H_0\) verworfen werden. Der durchschnittliche IQ der Stichprobe ist höher als der durchschnittliche IQ der Grundgesamtheit.

p_z_IQ_oneside <- pnorm(z_IQ, lower.tail = FALSE)
p_z_IQ_oneside

## [1] 0.001946209

p_z_IQ_twoside <- 2*pnorm(z_IQ, lower.tail = FALSE) #verdoppeln, da zweiseitig
p_z_IQ_twoside

## [1] 0.003892417

Konfidenzintervalle

Wir können auch ein Konfidenzintervall um den wahren Populationsmittelwert \(\mu\) bestimmen. Wenn wir z.B. ein 95%-Konfidenzintervall wählen und wir aus der selben Grundgesamtheit wiederholt die selbe Anzahl an Fällen ziehen (unsere Studie also sehr oft wiederholen), dann werden 95% aller Konfidenzintervalle den wahren Populationsmittelwert \(\mu\) enthalten.

Dabei gilt:

\[\mu = \bar{x} \pm z_{\frac{\alpha}{2}} * \sigma_{\bar{x}} = \bar{x} \pm z_{\frac{\alpha}{2}}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Ein 95%-Konfidenzintervall ist somit ein Intervall, welches in 95% der Fälle beim Ziehen aus der selben Grundgesamtheit den wahren Wert \(\mu\) enthält.

Wenn wir ein 95%-Konfidenzintervall bestimmen wollen, brauchen wir das zugehörige Quantil aus der Standardnormalverteilung - also den z-Wert für \(\frac{\alpha}{2}\). Wir müssen das \(\alpha\)-Niveau halbieren, da wir uns momentan beim Bilden eines zweiseitigen Konfidenzintervalles befinden. Wir haben bereits gelernt, dass man Quantile aus der Normalverteilung mit der Funktion qnorm() erhalten kann. Die Standardnormalverteilung mitt Mittelwert von 0 und Standardabweichung von 1 ist dabei der Default, aber wir geben die Argumente zur Übung trotzdem selbst an.

z_quantil_zweiseitig <- qnorm(p = 1-(.05/2), mean = 0, sd = 1)
z_quantil_zweiseitig

## [1] 1.959964

Wir sehen, dass der Wert 1.96 2.5% der Verteilung Richtung positiv unendlich abtrennt. Nun haben wir alle wichtigen Informationen, um ein zweiseitiges Konfidenzintervall um unseren Mittelwert zu legen.

positive_mean_IQ <- new_mean_IQ+((z_quantil_zweiseitig*sd_IQ)/sqrt(sample_size))
positive_mean_IQ

## [1] 108.3948

negative_mean_IQ <- new_mean_IQ-((z_quantil_zweiseitig*sd_IQ)/sqrt(sample_size))
negative_mean_IQ

## [1] 101.6052

conf_interval_IQ <- c(negative_mean_IQ, positive_mean_IQ )
conf_interval_IQ

## [1] 101.6052 108.3948

In diesem Fall liegt der Schätzer für den wahren IQ Wert der Grundgesamtheit \(\mu\), aus der die Stichprobe gezogen wurde, zwischen 101.61 und 108.39. Das bedeutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% der wahre IQ Wert der Grundgesamtheit in unserem Konfidenzinterall 101.61 und 108.39 liegt.

Das Konfidenzintervall kann auch dafür genutzt werden, um eine Aussage über die von uns angenommenen Hypothesen zu treffen. Dafür müsste untersucht werden, ob das Intervall den angenommenen Populationsmittelwert (100 enthält). Wir erinnern uns jedoch, dass in den Hypothesen eine Richtung vorgegeben wurde, weshalb hierfür auch ein einseitiges Konfidenzintervall benötigt werden würde.

Wir wollten also testen, ob der Stichprobenmittelwert größer als der Wert 100 ist. Daher müssen in unserem Konfidenzintervall um den Stichprobenmittelwert eine untere Grenze bestimmen, während wir es nach oben offen halten können (Richtung positiv unendlich). Die zugehörige Gleichung ändert sich nur geringfügig. Wir müssen den z-Wert nun einseitig bestimmen und dann eben auch nur die untere Grenze unseres Intervalls.

\[\mu = \bar{x} - z_{\alpha} * \sigma_{\bar{x}} = \bar{x} \pm z_{\alpha}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Wir haben bereits gesehen, dass eine Bestimmung des z-Werts durch die Funktion qnorm() möglich ist.

z_quantil_einseitig <- qnorm(p = 1-.05, mean = 0, sd = 1)
z_quantil_einseitig

## [1] 1.644854

Anschließend kann die untere Grenze des Intervalls sehr simpel bestimmt werden.

new_mean_IQ-((z_quantil_einseitig*sd_IQ)/sqrt(sample_size))

## [1] 102.151

Da das Konfidenzintervall für den Stichprobenmittelwert die 100 nicht enthält, ist die Annahme unter der \(H_0\) (\(\mu \leq 100\)) nicht haltbar. Daher würden wir die \(H_0\) in diesem Fall verwerfen. Beachten Sie: Ein einseitiger z-Test bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\) und die Besimmung über ein (1-\(\alpha\))-Konfidenzintervall kommen immer zu denselben Schlussfolgerungen.

t-Test

Die Bekanntheit des Populationsmittelwertes und der Populationsvarianz ist jedoch ein seltener Fall in der Praxis. Zunächst machen wir eine Erweiterung auf den Fall, dass die Populationsvarianz nicht bekannt ist. Trotzdem soll weiterhin ein Stichprobenmittelwert mit einem bekannten Populationsmittelwert verglichen werden. Wir werden sehen, dass dies zwar ein paar Veränderungen im Vorgehen und den Gleichungen mit sich bringt, das Prinzip aber erhalten bleibt. Bezeichnet wird das Vorgehen nun als t-Test, den wir im Einstichproben-Fall hier durchführen möchten.

Unterschiedliche Quellen geben an, dass die durchschnittliche Größe der Männer in Deutschland 180 cm beträgt (z.B. https://www.laenderdaten.info/durchschnittliche-körpergrössen.php). Eine Forschungsgruppe vermutet jedoch, dass die Männer in Deutschland eigentlich größer sind und ermittelt von zehn zufällig gezogenen Männer die Körpergröße.

Die Größe der Männer beträgt: 183, 178, 175, 186, 185, 179, 181, 179, 182, 177 (gemessen in cm).

men_height <- c(183, 178, 175, 186, 185, 179, 181, 179, 182, 177)

qqnorm(men_height) 
qqline(men_height)

mean_men_height <- mean(men_height)
mean_men_height

## [1] 180.5

sd_men_height <- sd(men_height)
sd_men_height

## [1] 3.535534

n_men_height <- length(men_height)
se_men_height <- sd_men_height/sqrt(n_men_height)

average_men_height <- 180

t_men_height <- abs((mean_men_height-average_men_height)/se_men_height)
t_men_height

## [1] 0.4472136

krit_t_men_height <- qt(0.95, df=n_men_height-1) 
krit_t_men_height

## [1] 1.833113

t_men_height > krit_t_men_height

## [1] FALSE

p_t_men_height <- pt(t_men_height, n_men_height-1, lower.tail = F) #einseitige Testung
p_t_men_height

## [1] 0.3326448

t.test(men_height, mu=180, alternative="greater") #alternative bestimmt, ob die Hypothese gerichtet ist oder nicht. Siehe hierzu ?t.test.

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  men_height
## t = 0.44721, df = 9, p-value = 0.3326
## alternative hypothesis: true mean is greater than 180
## 95 percent confidence interval:
##  178.4505      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##     180.5

Effektgröße

Als Effektgröße für Mittelwertsunterschiede kann Cohen’s d (Cohen, 1988) verwendet werden.

Dieses statistische Effektmaß beschreibt die Relevanz von signifikanten Ergebnissen. Zudem kann es verwendet werden, um den Effekt über verschiedene Studien hinweg zu vergleichen.

\[d = |\frac{\bar{x} - {\mu}}{\sigma}|\]

mean_Neuro <- mean(fb22$neuro) #Neurotizismuswert der Stichprobe
sd_Neuro <- sd(fb22$neuro, na.rm = T) #Stichproben SD (Populationsschätzer)
mean_Popu_Neuro <- 3.3 #Neurotizismuswert der Grundgesamtheit
d <- abs((mean_Neuro-mean_Popu_Neuro)/sd_Neuro) #abs(), da Betrag
d

## [1] 0.4533059

Die Effektgröße ist in diesem Fall mit einem Wert von .4533 mittelstark ausgeprägt. Normalerweise sollte die Einordnung der Größe anhand vergleichbarer Studien aus dem selben Bereich durchgeführt werden. Bei völliger Ahnungslosigkeit über relevante Größen gibt es eine Übersicht zur Orientierung. Es gilt nach Cohen (1988):

d = 0.2 -> kleiner Effekt

d = 0.5 -> mittlerer Effekt

d = 0.8 -> großer Effekt

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the Behavioral Sciences. Routledge.