Kernfragen dieser Lehreinheit Wie können Variablen und ganze Modelle simuliert werden? Wie lassen sich der \(\alpha\)-Fehler (Type I-Error, Fehler erster Art) und die Power (Testmacht, Teststärke) empirisch bestimmen? Welche anderen Möglichkeiten, den \(\alpha\)-Fehler und die Power zu bestimmen, gibt es? Wie lassen sich Power-Plots erstellen und was bedeuten sie? Einleitung In den vergangenen Sitzungen haben wir verschiedene Tests für unterschiedliche Fragestellungen kennengelernt: \(t\)-Test und Wilcoxon-Test für Mittelwertsvergleiche zweier Gruppen sowie den Korrelationstest, um die Beziehung zweier Variablen zu untersuchen.
Aufgabe 1 Lineare Beziehungen zwischen Variablen: Korrelationstest unter \(H_1\) Wir wollen uns ebenfalls die Power für den Korrelationstest ansehen. Dazu müssen wir allerdings korrelierte Variablen generieren. Um das hinzubekommen, müssen wir einige Eigenschaften der Normalverteilung ausnutzen: bspw. dass die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist. Für zwei unabhängige (unkorrelierte) standard-normalverteilte Zufallsvariablen \(X\) und \(Z\), ist die Zufallsvariable \(Y\), die folgendermaßen gebildet wird:
\[Y:= \rho X + \sqrt{1-\rho^2}Z,\]
wieder standard-normalverteilt und um den Korrelationskoeffizienten \(\rho\) korreliert mit \(X\).