Tests für unabhängige Stichproben

1.3. Voraussetzungsprüfung

Damit wir den Ergebnissen des t-Tests trauen können, müssen dessen Voraussetzungen erfüllt sein.

Voraussetzungen für die Durchführung des t-Tests

1. die abhängige Variable ist intervallskaliert \(\rightarrow\) ok
2. die einzelnen Messwerte sind voneinander unabhängig (Messwert einer Vpn hat keinen Einfluss auf den Messwert einer anderen) \(\rightarrow\) ok
   
3. das untersuchte Merkmal ist in den Grundgesamtheiten der beiden Gruppen normalverteilt \(\rightarrow\) (ggf.) optische Prüfung
   
4. Homoskedastizität: Varianzen der Variablen innerhalb der Populationen sind gleich \(\rightarrow\) Levene-Test

zu 3): Optische Prüfung auf Normalverteilung in den beiden Gruppen

Falls das Merkmal in der Population normalverteilt ist und die Stichproben groß genug sind, darf diese Voraussetzung generell als erfüllt betrachtet werden (\(\rightarrow\) Zentraler Grenzwertsatz). Für kleinere Stichproben empfiehlt sich eine optische Prüfung auf Normalverteilung. Zur optischen Prüfung auf Normalverteilung gibt es mehrere Möglichkeiten, von denen zwei im Folgenden erläutert und dann jeweils durchgeführt werden.

• Möglichkeit 1: die bei Normalverteilung erwartete Dichtefunktion über das Histogramm legen und so die Übereinstimmung beurteilen
  
• Möglichkeit 2: QQ-Plot (quantile-quantile): es wird die beobachtete Position eines Messwerts gegen diejenige Position, die unter Gültigkeit der Normalverteilung zu erwarten wäre, abgetragen. Bei Normalverteilung liegen die Punkte (in etwa) auf einer Geraden.

# Gruppe 1 (weiblich) 
par(mfrow=c(1,2))
nerd_weiblich <- dataB[(dataB$geschl_faktor=="weiblich"), "nerd"]
hist(nerd_weiblich, xlim=c(0,6), ylim=c(0,.8), main="Nerdiness Testwert (weiblich)", xlab="", ylab="", las=1, probability=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(nerd_weiblich, na.rm=T), sd=sd(nerd_weiblich, na.rm=T)), col="blue", lwd=2, add=T)
qqnorm(nerd_weiblich)
qqline(nerd_weiblich, col="blue")

Mithilfe von curve() kann eine Linie in eine Grafik eingezeichnet werden. Hierbei bezeichnet x die x-Koordinate. dnorm() hatten wir bereits kennen gelernt. Diese Funktion beschreibt die Dichte der Normalverteilung. Die Normalverteilung ist eindeutig durch ihren Mittelwert und durch ihre Standardabweichung definiert. Wir müssen dnorm() also jeweils den empirischen Mittelwert sowie die empirische Standardabweichung übergeben. Das Argument add = T ist nötig, da sonst ein neuer Plot für die Kurve erstellt wird. Durch add = T wird sie dem Histogramm hinzugefügt. Damit die Dichte sichtbar ist, muss im Histogramm zuvor das Argument probability = T gewählt werden. Ansonsten würden absolute Häufigkeiten anstatt der relativen Häufigkeiten abgetragen werden. Den qqnorm()-Befehl hatten wir auch bereits kennen gelernt. Mit qqline() erhalten wir die nötige Linie, auf welcher die Punkte einigermaßen liegen müssen, damit sie als normalverteilt einzustufen sind.

\(\rightarrow\) Normalverteilung kann für Gruppe 1 (weiblich) angenommen werden

Wir wiederholen die Befehle von zuvor auch für die zweite Gruppe:

# Gruppe 2 (männlich)
par(mfrow=c(1,2))
nerd_männlich <- dataB[(dataB$geschl_faktor=="männlich"), "nerd"]
hist(nerd_männlich, xlim=c(0,6), ylim=c(0,.8), main="Nerdiness Testwert (männlich)", xlab="", ylab="", las=1, probability=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(nerd_männlich, na.rm=T), sd=sd(nerd_männlich, na.rm=T)), col="blue", lwd=2, add=T)
qqnorm(nerd_männlich)
qqline(nerd_männlich, col="blue")

\(\rightarrow\) Normalverteilung kann auch für Gruppe 2 (männlich) einigermaßen angenommen werden (hierbei ist zu beachten, dass die Gruppe der Studenten im Vergleich zur Gruppe der Studentinnen deutlich kleiner ist)

Damit von nun an nicht immer zwei Grafiken in einem Plot dargestellt werden, können wir die Einstellungen folgendermaßen zurücksetzen:

dev.off()

## null device 
##           1

zu 4) Test auf Homoskedastizität (Levene-Test)

Das Hypothesenpaar im Levene-Test lautet:

• \(H_0\): Homoskedastizität ist gegeben.
  
• \(H_1\): Homoskedastizität ist nicht gegeben.

Ein nicht-signifikantes Ergebnis (p > .05) zeigt also Homoskedastizität an. Den Levene-Test können wir mit Hilfe des car-Pakets durchführen (dieses muss natürlich vorher installiert sein). Die nötige Funktion heißt leveneTest(). Sie nimmt eine Formel entgegen, die die Punktzahl ihrer jeweiligen Gruppe zuweist. Links von der ~ (Tilde) steht die abhängige Variable (hier der Nerdiness-Testwert), deren Mittelwertsunterschied durch die unabhängige Variable (hier Geschlecht) rechts der ~ erklärt werden soll. Wir merken uns also, dass die Gruppenzugehörigkeit rechts der ~ stehen muss.

library(car)
leveneTest(dataB$nerd ~ dataB$geschl_faktor)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##        Df F value Pr(>F)
## group   1   0.569 0.4519
##       146

F(1,146) = 0.57, p = 0.452 \(\rightarrow\) Das Ergebnis ist nicht signifikant, die \(H_0\) wird beibehalten. Homoskedastizität wird angenommen.

Für Fragestellung A sind somit alle Voraussetzungen für die Durchführung des t-Test erfüllt. :-) Hätte der Levene-Test keine Homoskedastizität angezeigt (p <. 05), so kann der t-Test trotzdem, nach Korrektur der Freiheitsgrade (“Welch-Korrektur”), durchgeführt werden (s.u.). Die Welch-Korrektur berücksichtigt die Unterschiedlichkeit der Varianzen und wird durch das Argument var.equal = F angefordert (sie ist im Übrigen auch der Default in R!).

1.4. Inferenzstatistik: t-Test

Zur Erinnerung:

Fragestellung A: “Erreichen Studentinnen und Studenten im Nerdiness Personality Attributes-Test im Durchschnitt gleich hohe Testwerte?”

\(\rightarrow\) Fragestellung ist ungerichtet, erfordert also auch eine ungerichtete Hypothese.

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
• Richtung des Effekts: Ungerichtet
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypothesenpaar (inhaltlich):

• \(H_0\): Studentinnen und Studenten unterscheiden sich nicht im Nerdiness-Testwert.
  
• \(H_1\): Studentinnen und Studenten unterscheiden sich im Nerdiness-Testwert.

Hypothesenpaar (statistisch):

• \(H_0\): \(\mu_\text{weiblich} = \mu_\text{männlich}\) bzw. \(\mu_\text{weiblich} - \mu_\text{männlich} = 0\)
  
• \(H_1\): \(\mu_\text{weiblich} \ne \mu_\text{männlich}\) bzw. \(\mu_\text{weiblich} - \mu_\text{männlich} \ne 0\)

Signifikanzniveau

Das Signifikanzniveau muss vor der Untersuchung festgelegt werden. Es soll hier 5% betragen. \(\rightarrow \alpha=.05\)

Durchführung des t-Tests in R: Funktion t.test()

Wir hatten im Rahmen des Einstichproben-t-Tests bereits die Funktion t.test() kennengelernt. Diese nutzen wir wieder. Wir übergeben dieser wieder die Formel, die wir bereits im Boxplot und im Levene-Test verwendet haben. Außerdem wählen wir einige Zusatzargumente, die dann zum Zweistichproben-t-Test für unabhängige Stichproben führt:

t.test(dataB$nerd ~ dataB$geschl_faktor,       # abhängige Variable ~ unabhängige Variable
      paired = FALSE,                   # Stichproben sind unabhängig 
      alternative = "two.sided",        # zweiseitige Testung (Default)
      var.equal = TRUE,                 # Homoskedastizität liegt vor (-> Levene-Test)
      conf.level = .95)                 # alpha = .05 (Default)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  dataB$nerd by dataB$geschl_faktor
## t = -1.8477, df = 146, p-value = 0.06667
## alternative hypothesis: true difference in means between group weiblich and group männlich is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.5496253  0.0184949
## sample estimates:
## mean in group weiblich mean in group männlich 
##               3.104000               3.369565

t(df = 146, zweis.) = -1.848, p = 0.067 \(\rightarrow\) nicht signifikant, \(H_0\) wird beibehalten.

1.5. Berechnung der Effektstärke Cohen’s d

Wir wissen nun, dass sich die Mittelwertsdifferenz nicht auf die Population verallgemeinern lässt. Dennoch wollen wir zur Eindordnung des Ergebnisses die Effektstärke ermitteln: Cohen’s d gibt den standardisierten Mittelwertsunterschied zwischen zwei Gruppen an. “Standardisiert” bedeutet, dass wir uns nicht mehr auf der Originalmetrik befinden (hier: Nerdiness-Testwert), sondern mit Standardabweichungen arbeiten. Ein Wert von 1 zeigt also an, dass sich die Gruppenmittelwerte um eine Standardabweichung voneinander unterscheiden. Die Effektstärke berechnet sich wie folgt:

\[ d = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2} {\hat{\sigma}_{inn}} \] wobei

\[ {\hat{\sigma}_{inn}} = \sqrt{ \frac{{\hat{\sigma}_1^2}*(n_1-1) + {\hat{\sigma}^2_2}*(n_2-1)} {(n_1-1) + (n_2-1)} }\] Cohen (1988) hat folgende Konventionen zur Beurteilung der Effektstärke d vorgeschlagen, die man heranziehen kann, um den Effekt “bei kompletter Ahnungslosigkeit” einschätzen zu können (wissen wir mehr über den Sachverhalt, so sollten Effektstärken lieber im Bezug zu anderen Studienergebnissen interpretiert werden):

Berechnung von Hand

Wir führen die Berechnung von Cohen’s d zunächst von Hand durch. Dafür speichern wir uns die nötigen Größen ab und wenden dann die präsentierte Formel an:

nerd_weiblich <- dataB[(dataB$geschl_faktor=="weiblich"), "nerd"]
mw_weiblich <- mean(nerd_weiblich, na.rm=T)
n_weiblich <- length(nerd_weiblich[!is.na(nerd_weiblich)])
sigma_qu_weiblich <- var(nerd_weiblich, na.rm=T) 

nerd_männlich <- dataB[(dataB$geschl_faktor=="männlich"), "nerd"]
mw_männlich <- mean(nerd_männlich, na.rm=T)
n_männlich <- length(nerd_männlich[!is.na(nerd_männlich)])
sigma_qu_männlich <- var(nerd_männlich, na.rm=T) 

sigma_inn <- sqrt((sigma_qu_weiblich* (n_weiblich - 1) + sigma_qu_männlich* (n_männlich - 1)) / (n_weiblich-1 + n_männlich-1))

d1 <- (mw_weiblich - mw_männlich) / sigma_inn
d1

## [1] -0.419214

Berechnung mit Funktion cohen.d()

Natürlich gibt es in R auch eine angenehmere Alternative:

#alternativ:
#install.packages("effsize")
library("effsize")

## Error in library("effsize"): there is no package called 'effsize'

d2 <- cohen.d(dataB$nerd, dataB$geschl_faktor, na.rm=T)

## Error in cohen.d(dataB$nerd, dataB$geschl_faktor, na.rm = T): unused argument (na.rm = T)

d2

## Error in eval(expr, envir, enclos): object 'd2' not found

Die Effektstärke für diesen Mittelwertsunterschied beträgt d = -0.419.